[선형대수학] ch01, 02 컴퓨터, 논리

1. 컴퓨터 정보화

1)  추론 

- 알려진 정보를 바탕으로 새로운 정보 생성 

- 전제 → 결론 

- 연역적 추론 / 귀납적 추론

- 추론의 공학적 측면 : 이미 알고 있는 명제를 기초로 하여 새로운 명제 생성

 

2) 불확실성

- 주가 예측

- 날씨 예측

- 게임 승부 예측

 

3) 정보와 의사 결정

- 확신성

- 위험성 

- 불확실성

- 무지

 

4) 데이터 분석

- 데이터 군집

- 데이터 분할

- 데이터 예측

 

5) 데이터 중심 의사결정 

- 데이터 수집 → 데이터 분석 → 데이터주도형 의사결정

 

6) 컴퓨터 정보화

- 다양한 정보를 활용

- 의사결정 규칙

- 정보에 대한 학습

- 미래 환경에 대한 추론

 

2. 논리와 컴퓨터

1) 논리

- 사고나 추리를 이치에 맞게 이끌어 가는 과정

 

2) 논리학

- 인간들의 지식활동에 관련된 특정한 종류의 원리들을 분석하고 명제화하여 이들을 체계화

 

3) 논리 주의

- 인식 및 인식의 가치가 성립하는 논리적 근거 

- 러셀이 제창한 주의 : 수학은 내용과는 별도로 임의의 어떤 성질이나 임의의 어떤 대상물에 의하여 항 상 성립하는 것만을 형식적으로 취급하는 학문이므로 이것을 예로부터 논리학 이라 하였으니 수학은 논리학의 한 분과가 되어야 한다는 입장

 

4) 수리 논리학

- 논리학에서 사용하는 명제를 수학적 표현

- 자연 언어에서 발생하는 복잡성을 제거하여 명제를 쉽게 취급하는 현대 논리학 이론

- 기호 사용

 

5) 기호 논리학

- 일상생활이나 사고 중에서 수리적인 성질을 가진 부분의 언어를 연구하여 체계를 세워나가는 것이 목적

- 명료함

6) 공리

- 근거 명제

- 자명한 명제

- 증명 불가

7) 정의

- 약속

- 어떤 말이나 사물의 뜻을 명확하게 정하여 밝히는 것

8) 정리

- 공리에서 연역적으로 유도되는 명제

- 진리라고 증명된 명제

- 보조 정리 : 증명에 사용되는 명제

- 따름정리 : 정리에서 쉽게 도출되는 부가적 명제

9) 직관주의

- 브로우베르가 대표적인 제창자로 그는 수학의 정신을 강조하여 모든 수학 적인 대상이나 진리는 수학을 하는 정신과 동떨어져 있을 수 없다는 입장

- 어떤 성질 P(x)를 지닌 자연수 x는 존재하거나 혹은 존재하지 않는다라는 명제를 증명하는데 실제로 P(x)의 성질을 지닌 자연수 x가 존재하는 경우이 거나 혹은 이러한 자연수가 존재하는 것이 불합리하다는 것이 직접 증명될 때에만 그 증명이 옳다고 주장

10) 형식주의

-힐베르트가 대표적인 제창자로 수학을 철저한 공리계에 바탕을 두고 전개 한 형식적인 연역체계

 : 공리계는 무모순성와 독립성을 지니고 있어하며, 완전성을 가미하면 최적

- 힐베르트에 의하면 무모순성을 밝히는 것은 결국 수학적 증명의 바탕이나 근거가 무엇이냐를 먼저 생각

 

11) 공학

- 공업의 이론, 기술, 생산 따위를 체계적으로 연구 

- 자연과학이 자연 자체를 대상으로 자연의 법칙을 탐구하는 것에 대해, 공학 은 주로 장치 또는 가공된 재료 등 인위적인 자연을 대상으로 하고, 역시 자 연의 법칙을 탐구하지만 실제로 무엇인가를 생산하는 실천행동에 제약된다.

- 접근 방법 : 가설 → 계획 → 실험 → 분석

 

3. 명제와 추론

1) 명제 

- 정의 : 서술문으로서 그 내용에 대하여 진리값 참이나 거짓 중 어느 하나만을 부여 할 수 있는 문장

-예제 1

  이 책은 참 알기 쉽다.

  석양의 노을은 얼마나 아름다운가!

- 예제 2

  하루는 24시간이다.

  직선의 방정식은 ax + by + c = 0 꼴이다.

 

2) 명제 연산자 

- 기본 명제 : 분해가 불가능 

- 합성명제 : 연결사에 의해 결합

- 연결사 : 논리합, 논리곱, 조건, 쌍조건, 배타적논리합 등

 

3) 논리식

-  명제와 연결사를 이용 정보 표현

 

4. 정보 표현

1) 연산자 

- 논리 연산자 

-현

2) 코드

- 문자, 숫자, 기호의 2진 표현의 약속 

- 0과 1로 표현

2-1)영문

- ASCII (American Standard Code for Information Interchange) 

-‘A’ = 41(0100 0001), ‘1’=31(0011 0001)

2-2) 한글

- 표현방식 : 완성형 코드, 조합형 코드 

- KSC-5601(1987), KSC-5657 

- ‘가’ = B0A1 (1011 0000 1010 0001)

3) 진법 

3-1) 2진법 

- 0과 1로 표현 

3-2) 8진법 

- 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 

3-3)16 진법

- 0 ~ 9, A, B, C, D, E, F로 표현 

3-4) R 진법 

- (N)R = dn · Rn+ dn-1 ·Rn-1 + dn-2 ·Rn-2 + · · · + d1 ·R1 + d0 

+ Example )

( 0A2F)16 = ( 0000 1010 0010 1111)2

                  = 0x163 + 10x162 + 2x161 + 15x160

                  = (2607)10

 

5. 불확실성

1) 불확실성

- 확실하지 않은 성질

2) 다양한 데이터의 공통적 특징 

- 불완전성 

3) 현실 정보의 특징 

- 불완전성 

- 모순성 

- 불확실성

4) 데이터 전문가

- 현실 정보의 특징을 이해하고 데이터 처리 

- 데이터의 단점을 극복하고 타당한 결론 도출

5) 데이터 분석시스템과 불확실성

5-1)불확실성(uncertainty)

- 결론에 도달하기 위한 정보 부족 

5-2) 고전 논리학

- 정확한 추론만 허용

- 흑백논리 적용

5-3)데이터 분석시스템의 문제

- 실세계 문제 명확하게 분리된 지식을 제공하지 않음

- 실세계 정보의 불완전성

- 측정 불가능한 데이터 포함

6) 데이터 분석시스템과 지식의 불확실성

6-1) 상관관계의 취약성

⚫ 규칙기반 시스템은 상관관계가 약함 ⚫ 주제 전문가와 지식공학자는 협업으로 규칙 생성

6-2) 부정확한 언어

- 자연어(natural language)는 본질적으로 모호함

- 정량화가 어려운 자연어 (often, sometimes, frequently) 

- 지식과 규칙화의 연결

 

6. 확률

1) 확률변수

- 확률적 실험보다 결과 수치화에 관심

- 확률변수는 확률을 가지고 발생하는 사상에 수치가 부여 

- 일반적으로 X로 표현 

- 관찰한 결과가 여러 가지 값을 소유할 가능성이 있음 

- 확률변수는 확률값을 갖을 수 있음

2) 확률 

- 사건이 발생할 수 있는 비율 

3) 성공 확률 

- 성공 사건 A 

- A 발생 T

-  ~A 발생 F :  P(A) = #T / ( #T + #F ) 

 

4) 실패 확률 

- 실패 사건 B 

- B 발생 T

- ~B 발생 F : P(B) = #T / (#T + #F)